文物中的數學：原來數學也可以這麼美｜新知
文博時空/文 文博時空 作者 徐之南
文物攝影｜杜廣磊
當我們想到文物，往往會聯想到歷史、文化和藝術，很少有人會將數學與文物聯繫起來。然而，在世界各地的博物館和考古遺址中，隱藏着無數展現着數學之美的寶藏。
爲了形成完美曲尺古人何以設計84度交角？古代農民如何測量土地面積和計算糧食產量？初中課本中的勾股定理從何而來？中國第一艘鋼甲巡洋艦“平遠號”的大功臣竟是擁有49個計數單位的“子玉算盤”？
從精美神秘的幾何圖案到不斷精確的測量手段，從日新月異的科學技術到紛繁複雜的商業貿易，數學在文物中扮演着不可忽視的角色。我們將從“藝術與幾何”“生活與測量”“科學與技術”“商業與貨幣”四個方面，探索文物中的數學之美。
01.藝術與幾何
1. 彩陶盆
新石器時代 彩陶盆 中國考古博物館藏
此盆爲寬口折沿，敞口鼓腹，下腹往下陡收，底部爲平底。彩陶盆下半部素面，脣口以下到腰部都以黑彩作畫裝飾，包括三角紋、圓點紋以及弧線三角紋，構成了構圖複雜，變幻莫測的紋飾帶。器表整體紋飾線條優美，各種圖案以一定的規律進行組合，充滿十足的創造性、流動性以及律動感。
此盆爲廟底溝類型典型器物，廟底溝類型以各種精美的彩陶花紋著稱。紋飾多點紋、弧線三角紋，對於線條的運用十分得心應手，三角紋與圓點紋的組合使用，與留白陶地形成多種多樣複雜的圖案，有研究認爲這些圖案是鳥紋的抽象化使用，是對寫實裝飾時期的紋飾進行動態變化之後形成的。花鳥共生紋成爲廟底溝類型彩陶的鮮明特點。
更爲重要的是，彩陶紋樣多展現了一種周而復始的美，揭示出循環往復的規律，展開看非常漂亮。
內蒙古敖漢旗大甸子墓地出土彩繪陶尊紋飾展開示意圖
2. 雙人擡物紋彩陶盆
新石器時代 雙人擡物紋彩陶盆 青海省博物館藏
此陶盆爲泥質紅陶，內外均飾黑彩。外側通過簡單的平行帶紋和單鉤紋裝飾，內側繪製四組雙人擡物紋。雙人擡物即兩人相向而立，共同擡起一個圓形的物品，因物品較重，所以兩人都背部彎曲。四組紋飾之間以多條橫豎條紋分割，下面以平行紋裝飾。口沿處則飾以三角紋和斜線條紋。
此器外表打磨光滑，內容十分豐富，尤其是盆內的四組雙人擡物紋，雖然只由簡單的線條和圓形組成，卻精巧的掌握了人身體的比例與彎腰擡物時的體態特徵。通過線條的彎曲弧度，形象生動地勾畫了遠古先民的形象。關於雙人擡物圖像的真實含義，有學者認爲是在共同勞作，搬運東西，也有學者認爲反映的是更爲重要的“多人共同祭祀”的場景。
3. 彩陶旋渦菱形幾何紋雙系壺
新石器時代 彩陶旋渦菱形幾何紋雙系壺 故宮博物院藏
馬家窯文化半山類型陶壺。器表以紅、黑兩種色彩描繪紋飾，口沿內側以黑彩繪弧形紋；頸部以黑彩繪連弧紋；肩、腹部以紅、黑兩彩繪四組漩渦紋，漩渦紋裡面又繪製了菱形幾何紋；肩部粗絃線及漩渦連線，邊緣飾細密的鋸齒紋。
漩渦紋起源較早，馬家窯文化時期的先民將其發展到了另一個變幻莫測，獨具風采的階段。一般認爲它起源於自然界的水渦，常用多個旋渦組成整體紋樣，連接起來宛若河流一樣流暢生動，富有動感，引人注目，令人深思。
4. 複道三角紋圜底彩陶罐
夏朝 複道三角紋圜底彩陶罐 甘肅省博物館藏
齊家文化時期彩陶罐，材質爲夾砂橙黃陶，罐爲侈口雙耳，通體施彩作裝飾。自上而下，自內而外均有紋飾，先是在口沿內外各繪製了一圈倒三角網紋，雙耳處繪製的是折帶紋。整個罐身最大面積的裝飾便是其腹部的三角紋飾的組合，自頸部至底部，以紫紅彩兩面分層繪複道三角紋，各層之間用平行線分隔，腹兩側繪菱形網紋。
此罐通體圖案皆由平行線組成，通過傾斜程度不同的多條平行線的組合，最終形成的是正倒相向的複道三角紋，是齊家文化的一種常見紋飾，齊家文化是甘肅地區在邁入青銅時代所形成的文化類型。這種紋飾雖繁縟但不雜亂，複雜中亦有簡練的紋路，似樹木的紋樣，裝飾感十足，也有研究根據其他遺址中出土的複道三角紋的草編器推測，這種紋飾的靈感便是草編器。
5. 垂幛紋雙耳銅方彝
西周 垂幛紋雙耳銅方彝 沂源博物館藏
器身爲子口，口部微收，方脣；腹部偏方，中下部略外鼓，肩部兩側各置一半環形耳，平底，長方形圈足，微外撇。器身四角均有兩矮扉棱。頸部四面各有變體夔龍紋一對。腹部四壁中心均飾半月形垂幛紋，其間填以弧狀凸棱紋，兩側飾葉脈狀幾何紋，圈足四面飾“之”字形幾何紋。蓋爲母口，盝頂，頂上爲圓形捉紐。蓋四角各有一矮扉棱，蓋的四面及頂部均飾有半月形垂幛紋。紋樣繁飾精美，此類銅方彝在西周青銅器中並不多見。
6. 錯金銀幾何雲紋銅壺
戰國 錯金銀幾何雲紋銅壺 中國國家博物館藏
這是一件精心設計的盛酒器，它將金銀兩種金屬的色差巧妙地運用在裝飾上，將複雜的構圖與色調的平衡完美融合，展現了戰國時期青銅工藝的高超水平。其表面裝飾着金銀錯幾何雲紋，這種紋飾不同於傳統的青銅器雲紋，它在保持幾何圖案嚴謹規則的同時，還追求着變化與多樣性。這種獨特的設計風格賦予了器物節奏感和律動美，使之看起來更加清新活潑。這種幾何圖案的創新，是戰國秦漢時期金銀錯工藝的一大藝術成就。
7. 錯金銀銅虎噬鹿屏座
戰國 錯金銀銅虎噬鹿屏座 河北博物院藏
該器是戰國中山國最鼎盛時期的國王墓葬中出土的一件稀世珍寶，從氣勢上可見當時中山國的強盛。這件器座的主體是一隻兇猛的老虎，它雙目炯炯有神，兩耳豎直，正在吞食一隻柔弱的小鹿。小鹿在虎口中奮力掙扎，短尾上翹，但始終無法掙脫，顯得異常悽然。老虎的後肢用力蹬地，前軀下踞，整個身體呈現出優雅的弧形。它的右前爪因抓住小鹿而懸空，而整個器座的平衡則巧妙地藉助了鹿腿來支撐。整個器物的構思既巧妙又自然，展現了極高的藝術水準。
老虎和小鹿的皮毛斑紋都是用金銀精心鑲錯而成，使得它們的形象生動逼真，彷彿就在眼前。在老虎的項部和臀部，各有一個長方形銎，銎的兩側裝飾着山羊的頭面，山羊的嘴巴正好與銎口相吻合。這兩個銎口的直線相交，形成了84度的交角，接近直角，如果安上屏扇，就會形成一個完美的曲尺形。
小帳及屏風復原示意圖
8. 七牛虎耳青銅貯貝器
西漢 七牛虎耳青銅貯貝器 中國國家博物館藏
貯貝器是一種滇國特有的青銅器，主要用來盛裝貨幣——貝殼。這是一件造型獨特的虎耳束腰筒形貯貝器，它的器蓋直徑與器身底徑大致相等，設計精巧，使得器蓋與器身能夠緊密扣合，無一絲縫隙。器蓋上，一個精緻的小銅鼓作爲蓋鈕，其上站立着一頭雄壯的牛，另外六頭牛則環繞在器蓋邊緣，首尾相接，從上方俯瞰，六頭牛的牛身形成了一個完美的六邊形。銅鼓之上的那頭牛將這個六邊形巧妙地劃分爲兩個等腰梯形，這樣的設計充滿了幾何的美感。器身的三隻獸爪型矮足，更加增添了其穩重之感。
器身最細的腰線兩側，各焊鑄了一隻猛虎，作爲器耳。這兩隻猛虎均朝上，張開了虎口，彷彿在咆哮。其中一隻虎的尾巴向下伸展，輕輕貼靠在器身靠下的器壁上，而另一隻虎的尾巴則向身體內捲縮，尾尖輕觸器身中部略下的器壁。虎耳的流線型設計與束腰筒形器身的簡約風格形成了互補，更顯和諧。
02.生活與測量
9. 商鞅方升
戰國 商鞅方升 上海博物館藏
戰國時期，各國度量衡的標準不一，給工商業發展帶來很大不便。商鞅變法前，秦國各地度量衡不統一。爲了保證國家的賦稅收入，商鞅製造了標準的度量衡器，要求全國統一施行。
“爰積十六尊（寸）五分尊（寸）之一爲升”。從“商鞅量”中得知，商鞅規定的1標準尺約合今0.23公尺，1標準升約合今0.2公升。由量器及其銘文可知，當時統一度量衡一事是十分嚴肅認真的。商鞅還統一了鬥、桶、權、衡、丈、尺等度量衡。要求秦國人必須嚴格執行，不得違犯。
10. 玉大帶
五代 玉大帶 四川博物院藏
玉大帶出土於四川省成都市西郊王建墓，王建是五代時前蜀國的開國皇帝。王建墓是中國首次科學考古發掘的古代帝王陵墓，同時也是迄今爲止發掘的歷史年代最早的古代帝王陵墓，規模宏大，保存完整，堪稱中國古代建築史上的一大傑作。
其墓出土的玉大帶是我國迄今發現的唯一一件皇帝用過的腰帶，是兼具歷史價值和藝術價值的國寶級文物。此帶由七方銙（kuǎ）、一方䤩（chá）尾、兩節革帶（後配）和一對銀扣組成，䤩尾背面所刻銘文記載了玉大帶火中倖存的故事。據說有一次王建的寢宮着火，大火過後，樓體變成一堆瓦礫，珍寶化爲灰燼。但是這塊玉石卻依然嶄新如故。王建認爲這塊玉是吉兆，於是命工匠將玉石製作成一條玉帶。
玉帶記載了鉈尾和玉銙的尺寸，爲研究唐五代的度量及帶制提供了寶貴的史料佐證。玉板上所刻龍紋身軀蜷曲，頗具動感，龍的神態刻畫細緻，極具威嚴，是五代時期玉雕的精品。
11. 日晷
明 日晷 故宮博物院藏
中國古代利用日影測定時刻的計時器，“晷”字，古意是太陽的影子。故宮所設日晷象徵皇帝一統授時之意，分設在午門、太和殿、乾清宮、坤定宮、養心殿、慈寧宮、皇極殿、養性殿、頤和軒等處，日晷均爲赤道式日晷。用於宮殿前亦有皇權的象徵，一般與嘉量並列於左右，象徵天地一統，江山永固。
“日晷”是利用地球自轉並繞太陽公轉的原理製成的。日晷有根鐵製的指針，裝在晷盤的中心處，指針的上端指向北極，下端指南極。在盤上，以晷針與盤的交點爲中心，均勻地劃分出二十四條時刻線（線的間隔爲15度），則晷盤相當於赤道面，二十四條時刻線相當於一天的二十四小時。晷盤上、下兩面都刻有地支的子、醜、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個字，每字分爲八刻，前四刻爲初，後四刻爲正，每刻相當於15分鐘。如太陽正午時，指針的投影正落在午初和午正分界的刻度上，即正午（中午12點鐘）。晷盤上的指針投影，上面的由早到晚是向左轉，下面的投影則向右轉。每年春分後即春夏兩季看晷盤上面字，秋分後即秋冬季看晷盤下面字。
12. 西漢水鍾
青銅刻漏
青銅溫鼎
青銅鏡晷
海昏侯墓中出土了一座世界上最古老的滴水計時工具——水鍾。這座龐大的水鍾，有計時、報時和校時三個功能，主要部件包括：青銅刻漏、青銅懸壺、青銅提樑尊、青銅鏡晷、青銅釜、青銅溫鼎、青銅錞於等。其規模之大，構件之多，設計之巧，裝飾之美，都是中國古代青銅器中罕見的。
水鍾在中國又叫做“刻漏”“漏壺”。根據等時性原理滴水計時有兩種方法，一種是利用特殊容器記錄把水漏完的時間（泄水型），另一種是底部不開口的容器，記錄它用多少時間把水裝滿（受水型）。中國的水鍾，最先是泄水型，後來泄水型與受水型同時並用或兩者合一。自公元85年左右，浮子上裝有漏箭的受水型漏壺逐漸流行，甚至到處使用。
“刻漏”，俗稱滴漏，也稱“漏壺”“漏刻”。它的計時精度可以達到一刻甚至半刻。古時一日分爲十二個時辰，亦分爲100刻，一刻就相當於現在的十四分鐘左右。這個刻漏屬於泄水型的，即在壺裡灌滿水後，下面的水嘴開始緩慢向外滴水，而壺內有一把如同尺子一樣的漏劍，也叫漏尺，上面有刻度，底下有浮子。隨着水的流失，浮子帶動漏劍逐漸下沉。人們依據下沉的刻度直觀地測出準確的時間。這個刻漏在整個“水鍾”裡是“校時器”，可以起到校正滴水速度的作用。
03.科學與技術
13. 《授時歷》
元 授時歷
《授時歷》是在至元十八年（1281）開始使用的元朝曆法，沿用400多年，是我國古代流行時間最長的一部曆法，也是我國古代最卓越的一部曆法。在許衡領導下，由郭守敬、王恂等人，在科學觀測的基礎上，參考歷代曆法編訂的。取《尚書》“敬授民時”之意，訂名爲《授時歷》。
《授時歷》是我國古代創制的最精密的歷法，用郭守敬自己的話說，《授時歷》“考正者七事”“創法者五事”。
考正者七事，一是精確地測定了至公元1280年的冬至時刻。二是給出了迴歸年長度及歲差常數，即第一年冬至到第二年冬至的時間爲365日24刻25分。三是測定了冬至日太陽的位置，認爲太陽在冬至點速度最高，在夏至點速度最低。四是測定了月亮在近地點時刻。五是測定了冬至前月亮過升交點的時刻。六是測定了二十八宿距星的度數。七是測定了二十四節氣時元大都日出日沒時刻及晝夜時間長短。
創法五事，一是求出了太陽在黃赤道上的運行速度。二是求出了月球每日繞地球運行的速度。三是從太陽的黃道經度推算出赤道經度。四是從太陽的黃道經度推算赤道緯度。五是求月道和赤道交點的位置。
《授時歷》採用的天文數據是相當精確的。如郭守敬等重新測定的黃赤交角爲古度23.9030度，約摺合今度23.3334度，與理論推算值的誤差僅爲1分36秒。
14. 秦簡《數》
秦 秦簡《數》 湖南大學嶽麓書院藏
秦朝官吏，爲了進行分配土地和收取租稅的工作，必須懂得土地面積的測量和計算方法。秦簡《數》作爲秦朝官員學習這些數學知識的教材，並不是當時的最高數學成就，這足以說明中國早期數學水平比我們原本想象的要高得多。“利用水作爲體積換算、割補術算圓面積、棱錐與棱臺的體積計算公式、化除爲乘，分次平方運算……”這些數學知識囊括了代數學、幾何學、概率論等細分領域。
最先顛覆我們常識的是勾股定理。約成書於公元前1世紀的《周髀算經》，記載西周初年數學家商高在回答周公的問題時說：“故折矩，以爲勾廣三，股修四，徑隅五……故禹之所以治天下者，此數之所生也。”由此出現了勾股定理。回看秦簡《數》中有一例算題“圓材薶地”，也呈現了勾股定理，並且比《周髀算經》早一兩百年。
15. 《周髀算經》
西漢 《周髀算經》清初影宋抄本版本 遼寧省圖書館藏
《周髀算經》約成書於公元前2世紀，原名《周髀》，唐初規定它爲國子監明算科教材之一。其書以數學成果“勾股定理”和古代中國的宇宙構成理論“蓋天說”聞名天下。歷代多位數學家都曾爲此書作注，其中最著名的是唐代數學家李淳風等人所作的注。
《周髀算經》採用最簡便可行的方法確定天文曆法，揭示日月星辰的運行規律，囊括四季更替，氣候變化，包含南北有極，晝夜相推的道理。給後來者生活作息提供有力的保障，比如，《周髀算經》中介紹的測量術和內插法。測量術是一種測量土地面積和計算糧食產量的方法，而內插法則是通過已知的數值推算未知數值的方法。這些方法在古代中國的農業生產和生活中具有重要意義。自此以後歷代數學家無不以《周髀算經》爲參考，在此基礎上不斷創新和發展。
04.商業與貨幣
16. “安邑一釿”銅橋足布
戰國魏 “安邑一釿”銅橋足布 中國國家博物館藏
通長5.5釐米，重13.65克。戰國早期魏國鑄幣。面文“安邑一釿”，安邑，地名，今山西夏縣西北，是戰國初年魏國都城所在，《史記》 魏世家及秦本紀都有所載。
“釿”是爲古代金屬重量名，亦是貨幣單位。中國戰國時期東方各國多以“釿”爲單位，直到秦統一六國後，統一衡制時被廢除。橋足布多爲三等制，此安邑橋足布就有半釿、一釿、二釿三種標度，其幣值、大小、重量依次遞增，在商品交易過程中，更便於流通使用，是先秦貨幣制度上的一大進步。
17. “齊返邦大刀”銅刀幣
戰國齊 “齊返邦大刀”銅刀幣 中國國家博物館藏
在蕩劇變的五百餘年中，齊國兩次成爲霸主是有其雄厚的經濟基礎的。爲滿足經濟發展需求，齊國鑄造、發行了多種貨幣，可大致分爲實物貨幣、金屬稱量貨幣、貝幣、刀幣與圜錢五大類，共同構成了齊國獨具特色的貨幣體系。
此件齊返邦大刀銅錢是戰國中晚期齊國鑄幣，曾爲清代著名收藏家陳介祺收藏，收錄於李佐賢所著《古泉匯》。這種六字銘文的刀幣俗稱六字刀，背部刀身與刀 柄外緣一體相連，與早期齊刀刀身脊背與刀柄的外緣斷於相交處有別，面文，曾有多種釋讀，尤其第二個字有 “通”“徙”“途”“進”“建”“造”等諸多解釋，今多數學者認同釋“返”，齊返邦含收復失地之意，由此推斷刀幣銘文記錄的是燕國滅齊，平安君田單幫助齊襄王復國的歷史事件，刀幣也被視爲目前所知最早的紀念幣。此錢開紀念幣之先河，豐富了我國的貨幣文化，對後世錢幣的發展演變產生了重要影響。
18. 金代聖旨回易交鈔銅鈔板
金 聖旨回易交鈔銅鈔板 中國錢幣博物館藏
金代“聖旨回易交鈔”銅鈔版（殘），重2356.5克，殘長143毫米，寬161.5毫米，是世界上最早的鈔板。這塊鈔版所印紙幣是與白銀兌換的，鈔版上的面額爲“銀壹兩”，在“銀壹兩”兩側用九疊篆對稱書寫“僞造者斬，賞銀伍錠”。
金代發行紙幣早於銅錢鑄造，紙幣與銅錢一起流通，先後發行過交鈔、貞祐寶券、貞祐通寶等多種紙幣。金代紙幣最初以七年爲界，到期換領新鈔。金世宗大定二十九年取消分界，發行的紙幣無限期流通，在中國紙幣發展史上具有劃時代的意義。在金取消紙幣分界六十年之後，南宋會子纔開始無限期流通。
19. 象牙算籌
春秋 象牙算籌 陝西曆史博物館藏
象牙算籌1983年出土於陝西旬陽縣漢代墓葬中，一共出土28枚，長13.5釐米，直徑0.4釐米，兩端齊整、通體磨光、長短相等、粗細均勻。由於是象牙質地，呈乳白色，因骨質文物脫水快，容易變形和開裂，文保人員把它們封護於有機玻璃保護盒中，以保持適宜的溼度。
算籌的使用時間較早。在春秋戰國時期就有文獻記載，使用已相當普遍。用“算籌”進行計算稱作“籌算”，這是中國古代算盤出現之前的計算工具，算式有橫式和縱式兩種。橫着的一根代表一，豎起的一根代表五，遇“0”則空，嚴格遵從十進位制。中國古代十進位制的算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的發明。
20. 子玉算盤
清 子玉算盤 江蘇南通中國珠算博物館館藏
此子玉算盤，是49檔算盤，長80釐米，寬20.2釐米，厚2.5釐米。紅木質地，通體黝黑，呈現溫潤的光澤，而且木質堅硬沉手。算盤上刻有“子玉學歷記福海春長署齋”和“子玉學歷記福海春長之署”的款識。這是目前爲止所發現的，唯一完整標有古代計數單位及進制方法的算盤，也是唯一在樑上設四顆算珠的算盤。
算盤是我國古代勞動人民的發明創造，它萌於商周，始於秦漢，成於唐宋，盛於元明。明代中後期取代算籌成爲我國主要計算工具，對促進我國社會經濟發展發揮了重要作用。
“子玉算盤”是周懋琦爲解決造艦過程中一般算盤無法滿足“平遠號”設計中遇到的大量繁複、艱深的設計計算問題而特地設計、製造的算盤，後以周懋琦的號“子玉”命名。其樑和邊框上標有49個大小不同的計數單位，以及“小數和、中數、大數”進制方法，這也是子玉款算盤的文物價值和研究價值所在。但這些計數單位和進制方法如今極少見到。
自右向左依次標有“太極”至“周復”共49個計數單位：
太極、太初、太始、太素、淨、清、空、虛、六德、剎那、瞬息、彈指、須臾、逡巡、模糊、漠、渺、埃、塵、沙、纖、微、忽、絲、毫、釐、分、壹、十、百、千、萬、億、兆、京、陔、秭、壤、溝、澗、正、載、極、恆河沙、阿僧祗、那由他、不可思議、無量數、周復。
在第二次鴉片戰爭之後，洋務運動興起，近代中國第一座海軍船廠——福州船政局成立，周懋琦奉命擔任船政提調，和留學歸來的技術人員一起設計了中國第一艘鋼甲巡洋艦“平遠號”。算盤的樑和邊框上刻有非常詳盡的計量單位、進位關係和計算方法，極爲罕見，具有極高的數學研究價值。
圖片 | 杜廣磊
排版 | 小謝
設計 | 尹莉莎
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