印度數學天才拉馬努金，極爲巧妙地解決了一個無限嵌套的數學問題

1911年，印度數學天才斯里尼瓦薩-拉馬努金（ Srinivasa Ramanujan）在《印度數學會雜誌》上提出了上述問題（如圖）。幾個月之後，他提供了一個解決方案。 在這篇文章中，我們將討論拉馬努金的解決方案，同時探索一個基於微積分的方法來解決這個問題。所以，讓我們直接深入探討吧。

聲明

但首先，讓我們明確說明幾件重要的事情。

拉馬努強的解

請注意，對於任何非負實數x，我們有：

現在，(x+2)又可以寫成((x+1)+1)，從而得到：

繼續這個過程，把(x+3)寫成((x+2)+1)，我們得到：

這個規律現在已經很明顯了。如果我們無限地進行這個過程，我們會得到：

現在神奇的事情來了。 插入x=2，我們得到：

就這樣，我們得到了答案， 原來只是3！就這樣簡單而明瞭，的確如此。

此外，上述問題是更廣泛的一類問題的一個極好的例子，其中所提出的問題是具有更一般性質的特殊情況。在這種情況下，我們首先找到一般的恆等式，然後代入合適的值來得到期望的結果。例如：

所以，這就是拉馬努金對這個問題的思路。接下來，我們繼續探索基於微積分的方法來解決這個問題。

基於微積分的解決方案

聲明：我們假設存在一個可微的實值函數f，隱式定義爲：

同樣，我們在這裡放棄了一些數學上的嚴謹性，假設這樣的函數存在，而沒有實際證明這一點。現在，我們的目標是，如果這樣的函數存在，我們能否利用它來解決我們的原始問題？

請注意：

繼續下去，我們得出了：

現在可以清楚地看到，我們問題的解f(2)， 這是因爲：

當然，以上就是我們的函數定義的靈感來源。現在，讓我們試着找出f(2)的值。

然後：

現在，讓我們看看f(x)的導數告訴了我們什麼。

同樣，在[3]中設置x=0，我們得到：

回到原來的方程：

我們得到了 f(2)的值，也就是是3。

結語

補充一些歷史背景，拉馬努金在1911年發表了這個問題，當時他正試圖在國家數學界建立自己的地位。幾年後，他與G.H.哈迪取得聯繫，搬到了劍橋，在接下來的五年裡，他們兩人將形成有史以來最佳的數學夥伴關係之一。

拉馬努金是一個不需要特別介紹的名字。他的生活和成就已經被徹底記錄下來了。這篇文章上提出的問題只是他最喜歡的領域之一。

作爲他的典型代表，拉瑪努強對數學的特定領域有着全身心的興趣，而對其他領域則完全漠不關心。當然，誰能比哈迪本人更瞭解這一點呢？我們以他的一句精彩的話來結束本文，這句話恰當地概括了拉馬努金：