廣義逆理論的幾位先驅者及其有關工作
本文介紹廣義逆研究中幾位相關數學家的生平簡介及他們與廣義逆有關的工作。
撰文 | 陳建龍、吳藏
01
Eliakim Hastings Moore(1862.01.26-1932.12.30)，美國近代數學領袖之一，曾任美國數學會主席。
Moore出生於美國俄亥俄州瑪麗埃塔，他對數學的興趣，起源於他高中時的一份暑期工作。有一年夏天，他給辛辛那提天文臺臺長當助手，從那時起，他決定要在大學學習數學和天文學。
1883 年，Moore本科畢業於耶魯大學，之後留在耶魯攻讀博士學位，師從Hubert Anson Newton，並於1885年獲得博士學位。Newton鼓勵Moore去歐洲遊學一年，並資助了他的旅費。在那個年代，歐洲是世界數學研究的中心，美國學者常常不得不在歐洲接受培訓。Moore在德國度過了這一年，在大部分時間裡，他都在柏林大學聆聽克羅內克和魏爾斯特拉斯的講座。回到美國後，Moore在西北大學、耶魯大學任教。1892 年，Moore被任命爲芝加哥大學數學系教授和代理系主任。他在芝加哥建立了自己的研究機構，第一次爲美國數學家提供了在美國的研究密集型環境中接受培訓的機會。
1893 年，Moore作爲主要組織者之一，籌辦了第一屆國際數學大會。隨後，他找到紐約數學協會，希望出版大會論文集。他說服該學會扮演更全國性的角色，並將其更名爲美國數學學會。在他的領導下，學會成立了芝加哥分會，他還幫助學會將業務擴展到全美各地。他成爲美國數學會的堅定支持者，並在1898 年至 1900 年擔任副主席，1901 年至 1902 年擔任主席。R.C. Archibald在《美國數學學會半世紀史 1888-1938》中這樣總結過Moore的貢獻：“Moore是一位非凡的天才，他生動、富有想象力、富有同情心，在使美國數學家擺脫對外國大學的依賴，以及在建立一個充滿活力的美國學派，吸引來自世界各地的工作者方面，他是最重要的領導者。”
Moore首先注意到矩陣廣義逆的存在，他爲每個有限矩陣定義了一個唯一的廣義逆（他稱之爲“廣義倒數”）。雖然他關於這個問題的第一份出版物是1920年在美國數學學會會議上發表的演講摘要，但一般認爲他早在1906年就得到了這一結果。
Moore的這項工作在之後的30年裡，很少得到人們的注意。在此期間，西格爾、曾遠榮、馮·諾伊曼等人相繼研究了矩陣、算子的廣義逆。20 世紀 50 年代，隨着一些廣義逆的最小二乘性質的發現，人們重新發現了Moore的工作，並掀起了廣義逆研究的高潮。
02
Roger Penrose(1931.08.08-）英國數學物理學家、牛津大學數學系名譽教授、諾貝爾物理學獎得主。
Penrose出生於英國埃塞克斯郡的科爾切斯特，他的父親Lionel Penrose是英國知名的遺傳學專家、精神病學專家、數學家。P. Penrose本科畢業於英國倫敦大學學院，1957年獲得劍橋大學博士學位。Penrose以《引力坍塌和時空奇點》爲代表的一系列論文，和著名數學物理學家斯蒂芬·霍金一起創立了現代宇宙論的數學結構理論。1972年入選倫敦皇家學會會員。他和霍金一起證明了奇點定理, 二人因此獲得了1988年的沃爾夫物理學獎。
1994年，Penrose被伊利莎白二世封爲爵士。2020年，Penrose因對黑洞現象的理論物理解釋，獲得諾貝爾物理學獎。
1955年，尚在攻讀博士學位的Penrose，藉助四個矩陣方程定義了一類矩陣廣義逆。R. Rado於1956年指出這一廣義逆等同於Moore 所定義的“廣義倒數”，後來人們稱這一廣義逆爲Moore-Penrose逆。1956年，Penrose 得到了Moore-Penrose逆在線性方程組求解問題中的重要應用，即其可用來表示線性方程組 x= 的極小範數最小二乘解。Penrose的這兩個工作極大地推動了廣義逆理論的發展。Penrose對於廣義逆理論的另一個重要貢獻是，他與W. D. Munn給出了逆半羣（即任意元素有且只有一個自反逆的半羣）的若干等價刻畫。
03
M.P. Drazin（左）和P.G. Drazin（右）
Michael Peter Drazin（1929.06.05-），美國著名數學家。Drazin出生於英國倫敦，是家中的長子，他的弟弟Philip Gerald Drazin（1934–2002）也是一位數學家，後來成爲英國流體力學的領軍人物。
Drazin於1950年獲得劍橋大學學士學位，1953年獲得碩士學位，同年被授予博士學位，師從Robert Rankin和David Rees（半羣理論的先驅），學位論文題爲《Contributions to Abstract Algebra》。
1952年至1956年，Drazin擔任劍橋大學三一學院的研究員。1955年，Penrose的著名論文“A generalized inverse for matrices”發表在Proceedings of the Cambridge Philosophical Society上，這背後也有着Drazin的身影。Penrose在文章結尾寫道：“感謝 M. P. Drazin 博士在本文撰寫過程中提出的有益建議和意見。”
之後，Drazin移民到美國。1957-1958年，Drazin任美國西北大學的客座講師，期間發表了文章“Pseudo-inverses in associative rings and semigroups”，提出了另一類經典廣義逆（現被人們稱作Drazin逆）。隨後，他在巴爾的摩高級研究所擔任高級科學家，期間與Emilie Virginia Haynsworth合作，參與了美國國家標準局的數值分析項目。1962年，Drazin來到普渡大學，在此工作至退休。
Drazin現已95歲高齡，仍絃歌不輟。2012年至今，他平均每年發表一篇廣義逆理論的文章。
（感謝復旦大學魏益民教授提供的M.P. Drazin的相片。）
04
Calyampudi Radhakrishna Rao(1920.09.10—2023.08.22)，印度裔美國數學家，美國科學院院士，英國皇家統計學會會員，當代國際最著名的統計學家之一，師從現代統計學的奠基人費希爾。
2002年，Rao獲得美國國家科學獎章，小布什（時任美國總統）爲 Rao 頒發獎章，表彰他在“統計學理論的建立，多元統計分析方法及其應用方面所做的開拓性貢獻，其豐富了物理學、生物學、數學、經濟學和工程科學的發展”。
1945年8月6日、9日，美國在日本廣島、長崎投下兩顆原子彈。之後美國國家科學院國家研究委員會被要求對原子彈爆炸倖存者的醫學和生物學表現進行長期研究。這項研究始於1946年的遺傳學計劃，計劃的任務是收集和分析倖存者所生兒童的生理特徵數據，並評估可能的遺傳影響，任務極具挑戰性。
1954年，Rao收到了一些從日本收集的爲了研究廣島和長崎的核輻射長期影響的數據。在對這些數據進行統計分析時，需要尋找一個矩陣來替代通常線性模型中的設計矩陣左乘其轉置矩陣後所得矩陣的逆（這一乘積所得的矩陣是奇異矩陣，不存在逆）。1955年，Rao提出了一種僞逆，將其代替這一乘積的逆，用於表示正規方程的解。美國國家研究委員會使用Rao的分散分析方法和他在僞逆基礎上開發的計算技術來計算估計值差異的標準誤。委員會在1956年的研究報告中寫道：統計分析大大受益於與Rao等傑出科學家的討論和通信。
與Rao同一年（1955年），Penrose用四個矩陣方程重新定義Moore所引入的一類矩陣廣義逆，這類廣義逆現被稱作Moore-Penrose逆。Rao僞逆滿足Penrose四個方程中的前兩個，但與Moore-Penrose逆是不同的廣義逆。
在進一步地研究中，Rao發現對於許多應用場景來說，Rao僞逆和Moore-Penrose逆都不是必須的，使用滿足更一般條件的g-逆就足夠了。1962年，Rao 提出了g-逆的一般定義，研究了g-逆在數理統計中的應用。Rao在矩陣廣義逆及應用這一領域持續深耕。1971年，Rao和S.K. Mitra出版專著《矩陣廣義逆及其應用》。
05
曾遠榮（Yuan-Yung Tseng, 1903.10.03—1994.02.02），中國泛函分析研究的創始人之一，國際算子廣義逆理論的奠基者。
曾遠榮生於四川省南溪縣，1919-1927年就讀於清華學校（清華大學前身），1927-1933年留學美國，在芝加哥大學取得碩士、博士學位，是Moore生前參與指導的最後一名博士生。曾遠榮也在普林斯頓大學和耶魯大學得到斯通和馮·諾伊曼等其他幾位數學大師的教誨，深受他們的賞識。
1933年，曾遠榮學成歸國，先後在國立中央大學、國立清華大學、國立西南聯合大學、成都燕京大學、國立四川大學任教。1950年，曾遠榮受南京大學數學系主任孫光遠教授聘請，到南京大學任教，直至退休。
曾遠榮曾是國內《數學學報》、《數學進展》的早期編委之一（1951年），中國數學會南京分會理事會副主席。1956年，他被評爲新中國首批一級教授，受中國科學院邀請，參與制定國家十年科學發展規劃。
曾遠榮是在西方大學接受教育的第一代中國現代數學家，也是中國在函數分析領域的第一位數學家。他在回國後將這一學科引入中國。他一生建樹極深，著名的工作有：定義了任意維數的實域、復域和四元域上的線性空間及其上的Hermitian函數和雙線性函數；系統研究了有界線性函數的表示、特徵值和無界自相加算子的譜分析等問題；他的博士論文“The characteristic value problem of hermitian functional operators in a non-Hilbertian space”有力促進了線性算子譜分析的發展；提出了巴拿赫空間和希爾伯特空間的廣義雙正交系統以及算子方程近似解的概念；獲得了線性算子方程的所謂極值近似解的唯一性；等等。
曾遠榮最著名的工作是引入了線性算子廣義逆的概念。這一廣義逆被稱爲“曾廣義逆”（Tseng inverse），在國際上具有廣泛的影響。他的這一開創性工作受到他的老師Moore的影響。他是公認的算子廣義逆的奠基人，而矩陣和算子的廣義逆幾乎在應用數學的各個領域都有大量應用。1956年冬，他去往莫斯科參加國際泛函分析會議，應邀在大會作題爲《廣義逆算子的固有函數展開》的報告，極受歡迎。
（感謝丁玖教授提供的關於曾遠榮教授的詳實資料）
作者
陳建龍，東南大學特聘教授、二級教授，博士生導師，享受國務院政府特殊津貼，教育部大學數學課程教學指導委員會委員，中國高等教育學會教育數學專業委員會副理事長。獲首屆全國教材建設獎——全國優秀教材二等獎，寶鋼優秀教師特等獎提名獎，第四屆教育部“高校青年教師獎”，國家級一流課程（兩門）的主持人，獲江蘇省教學成果一等獎，江蘇高校優秀教學團隊、江蘇高校省級優秀基層教學組織，獲首屆全國高校大學數學課程教學創新示範交流活動一等獎，首屆東南大學傑出教學獎。主要從事環論、模論、同調理論及廣義逆理論的科學研究，迄今共主持7項國家自然科學基金項目，發表SCI收錄論文200餘篇，出版學術專著4本，曾獲第四屆江蘇省青年科技標兵，中國高校自然科學二等獎，江蘇省科學進步三等獎。
吳藏，理學博士，南京林業大學理學院教師。畢業於東南大學，研究方向爲環論、矩陣理論，發表SCI論文十餘篇。
相關著作
Algebraic Theory of Generalized Inverses
(廣義逆的代數理論）
ISBN 978-7-03-076570-3
作者：陳建龍，張小向
北京：科學出版社，2024.03
距離I. Fredholm在1903年首次提出廣義逆的概念已過去一百多年。在這期間，廣義逆理論得到了長足的發展，多種不同類型的廣義逆陸續被提出，廣義逆被證明不僅自身具有重要的理論意義，也在數值分析、統計學、微分方程等其它領域的研究中發揮着重要而廣泛的作用。
本書以環、半羣、範疇等代數結構中的Moore-Penrose逆、羣逆、Drazin逆、核逆、僞核逆爲主線，介紹廣義逆的代數理論，包括代數方程刻畫、存在性準則、表達式、關於代數運算的性質等等。作者撰寫本書出於兩個目的：一方面考慮到當前廣義逆理論的教材和專著多專注於復矩陣和算子的相關廣義逆的性質、計算和應用，缺少環、半羣、範疇等更一般的代數結構中廣義逆的相關理論；另一方面爲相關方向的研究生提供較爲適當的廣義逆的代數理論的參考書。爲此，本書在編排上注重循序漸進，從矩陣分解入手，介紹矩陣廣義逆的基本性質，以此類比，延伸到環、半羣中的元素以及範疇中的態射的相關廣義逆上，介紹廣義逆的代數性質及其與代數結構的性質之間的內在聯繫。本書可作爲相關數學專業研究生或高年級本科生的教材或參考書，也可供相關專業的教師或科研人員參考。
廣義逆：理論與計算（英文版，第二版）
ISBN 978-7-03-059564-5
作者：Guorong Wang (王國榮）,Yimin Wei (魏益民）,Sanzheng Qiao (喬三正）
北京：科學出版社，2018
This book begins with the fundamentals of the generalized inverses, then moves to more advanced topics. It presents a theoretical study of the generalization of Cramer's rule, determinant representations of the generalized inverses, reverse order law of the generalized inverses of a matrix product, structures of the generalized inverses of structured matrices, parallel computation of the generalized inverses, perturbation analysis of the generalized inverses, an algorithmic study of the computational methods for the full-rank factorization of a generalized inverse, generalized singular value decomposition, imbedding method, finite method, generalized inverses of polynomial matrices, and generalized inverses of linear operators. This book is intended for researchers, postdocs, and graduate students in the area of the generalized inverses with an undergraduate-level understanding of linear algebra.
廣義逆的符號模式（英文版）
ISBN 978-7-03-068568-1
作者：卜長江,孫麗珠,魏益民
北京：科學出版社，2021
This book addresses recent developments in sign patterns for generalized inverses. The fundamental importance of the fields is obvious, since they are related with qualitative analysis of linear systems and combinatorial matrix theory. The book provides both introductory materials and discussions to the areas in sign patterns for Moore-Penrose inverse, Drazin inverse and tensors. It is intended to convey results to the senior students and readers in pure and applied linear algebra, and combinatorial matrix theory.
本文經授權轉載自微信公衆號“科學出版社”，編輯：劉四旦。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公衆號底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公衆號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。