日本減負後，東京大學入學題火了：證明π＞3.05

本文轉載自公衆號“把科學帶回家”（ID：steamforkids）

撰文 七君

上名校是大多數中學生的夢想，日本的小朋友也不例外。

東京大學大講堂。圖片來源：britannica

日本人心中的最好國內大學是東京大學。東京大學在2022年QS世界大學排名中是第23位（清華和北大分別爲第17和第18名），是日本上榜學府中的第一名，地位類似於清北之於我國。

東京大學在2022年QS世界大學排名中是第23位。圖片來源：www.topuniversities.com/universities/university-tokyo

東京大學的入學測試也和其他大學不一樣，國考的佔比只有20%（日本的高考制度和我國不太一樣，他們除了全國性的統一考試，也就是全國共同學力第一次考試（UECE）外，每個公立學校還有各自的入學測試，其他日本公立大學規定的國考佔比是40%-60%），校考的佔比達到80%，因此也是最難考入的高等學府。

在2003年的入學測試中，東京大學理學院入學考試的第六題考了一道看起來非常簡單的題，但是這道題卻把日本中學生難倒了，被日本人稱爲“傳說中的東大入學題”。一些知名漫畫也拿這個證明題爲玩梗，比如《龍櫻》。

漫畫《龍櫻》中調侃東大的這道入學測試題。

這道題就是，證明圓周率大於3.05。

其實，要證明圓周率大於3.05並不是那麼困難。日本小朋友證不出，和他們的教育體制有些關係。我們先來看怎麼證。

在回答這個問題之前，首先了解一下什麼是圓周率。

圓周率就是派，派就是3.1415926…

圓周率的定義：圓周和直徑的比。圖片來源：wikiwand

啊不，圓周率的定義是圓周和直徑的比。利用這個定義就可以證明圓周率大於3了。

比如，在一個半徑爲1的圓裡面做一個正六邊形，可知圓的邊長大於正六邊形的邊長，也就是：

因此：

很容易就能證明，圓周率大於3。

那麼，怎麼證明圓周率大於3.05呢？

最簡單的方法，就是作一個半徑爲1的圓，然後在圓裡作一個正八邊形。顯然，圓周長大於正八邊形的周長，所以只要求出正八邊形的周長就可以證明圓周率大於3.05了。

那麼怎麼計算正八邊形的周長呢？算每條邊長就好了。

正八邊形可以分成8個等腰三角形，每個三角形的頂角爲45度。

根據餘弦定理（勾股定理的普適版本，描述三角形中三邊長度與一個角的餘弦值關係的定理），這個正八邊形的邊長是：

因爲圓周長大於這個正八邊形的周長，所以：

因此：

把右邊算一下，就可以證明圓周率大於3.05。

另外一個方法是把圓十等分。

十等分後，每個三角形的頂角是36度。那麼根據餘弦定理，底邊邊長 x 就是：

中學裡有教過，頂角是36度的等腰三角形和黃金分割有關：

因此正十邊形的邊長爲：

又因爲圓周長大於正十邊形的周長：

可知：

上面說的是這道題的幾種破題法，但是這道題走紅的真正原因，是東京大學悄摸摸嘲諷日本政府的減負政策的舉動。

剛纔說到東京大學的這道題是2003年出的。而在2002年，發生了一個重要的事件：日本實行了減負政策改革，也就是寬裕教育。

爲日本政府提出的寬裕教育充當發言人的文科省審議官、京都造形藝術大學教授寺脅研表示，從明治維新到1977年，日本採取的是填鴨式教育模式，中小學的學習內容不斷增加。他指出，不可否認的是，這對日本的現代化起到了重要作用。

但是，因爲學習內容的增加，在70年代末，這樣的填鴨模式開始反噬社會，當時的日本中學輟學問題嚴重，校園暴力也不斷升級。在這樣的背景下，日本政府開始進行教育改革。

日本初中生。圖片來源：wikipedia

從20世紀70年代開始，日本政府逐漸減少了小學生的上課時間，降低了課程內容和強度，並進行了幾次重要的改革。

比如，面對日本社會對“填鴨教育”的質疑，1985年日本內閣設置了臨時教育審議會，提出了重視個性原則、終身學習、教育國際化接軌等改革方針，這就是日本的第一次減負。在1992年，日本政府又再次爲學生減負。

寺脅研表示，第三次重大改革是2002年4月開始的。當時， 日本教職員組合（日教組）提出了“有寬裕的學校”的教育理念後，日本內閣提出了“公共教育民營化、自由化”。

接着，日本文部省與中央教育審議會出臺了重視“寬裕”（ゆとり）的《學習指導要領》，該政策在2002年度起正式實施，後來這種新的減負教育就被稱爲“寬裕教育”。

2002年（綠）實施寬裕教育後，和1992年（黃）相比小學生的課時明顯減少了。圖片來源：hummingheads

2002年寬裕教育的主要改革內容包括刪減學習內容和授課時常、全面實行每週5天的學制。也就是說，在2002年的改革後，日本的小學生除了作業變少、課堂內容變簡單之外，終於不用在週六上學了，之前日本小學生在週六也是要上學的。

但是，2002年的寬裕教育也飽受爭議，日本社會認爲寬裕教育培養出了一批學習能力低下的廢柴，而這個年齡段的學生也被稱爲“寬鬆世代”。

2016年開播的熱門日劇《寬鬆世代又如何》中有大量對寬鬆世代的吐槽。

寺脅研說，在2002年的改革後，因爲日本人擔心日本學生的學力下降，作爲發言人的他也經常遭受抨擊。

而在2002年的寬裕教育中作爲標誌性的“降智打擊”的改革措施，就和圓周率有關。

原來，日本政府在2002年修改了小學的教材，將圓周率的取值爲近似值3，引起了軒然大波。日本最大的課外培訓機構之一的日能研就在東京的電車裡張貼了大量的吐槽廣告。新聞媒體和週刊雜誌也對這個事件進行了大量報道。

日本最大的課外培訓機構之一的日能研吐槽日本政府讓圓周率變成3的廣告：不是吧，圓的面積是半徑乘以半徑乘以3！？

東京大學在改革次年出的這道入學測試題在日本迅速走紅，就是因爲這個原因。

試圖讓圓周率的值變成法定的3.2的圓周率法案。圖片來源：wikipedia

其實歷史上出現過不少類似的嘗試用行政或法律手段強迫常數變節的事件。

比如在1897年的美國印第安納州議會上，業餘數學家 Edward J. Goodwin 堅信自己提出的化圓爲方的方法是對的，因此把自己的這個錯誤方法作爲法案提出。按照 Goodwin 的算法，圓周率就會變成3.2，而不是3.14…

那天，幸好普渡大學的數學家 C. A. Waldo 在場，他及時否定了這個提案，阻止其成爲法律。但是這個事件後來鬧得沸沸揚揚，《芝加哥論壇報》等主流報紙也開始跟進報道，因此這個法案後來也被稱爲“圓周率法案”。

在美國沒有通過的法案，卻在日本小學裡實現了，難怪東京大學的出題老師也看不下去了。

日本小學生。圖片來源：wikipedia

可是，日本社會是不是焦慮過度了呢？

其實，在2002年的寬裕教育政策落地一年後的2003年，日本16歲中學生在經濟合作與發展組織籌劃的知名國際學生學業評估測試——國際學生評估計劃 （PISA2003），以及國際數學與科學趨勢研究報告2019（TIMSS 2003）中的各個學科的排位均下滑了。

比如，2003年日本在PISA數學測試中的排名從3年前的第1名下降到第4名，2006年更是下滑到第10名，這令日本人感到十分羞恥。

在2000年的國際學生評估計劃 （PISA2000）中，日本學生數學的排名是第1名，科學第2名，閱讀第8名。圖片來源：(Corpus ID)17280121

因此在2008年，安倍內閣又推倒了之前的寬鬆快樂教育，提出了增加學習難度的新版《學習指導要領》。日本媒體把這次改革稱爲“脫寬裕教育（脫ゆとり教育）”。

脫寬裕教育改革從2011年開始正式實施。脫寬裕教育改革的第二年，也就是2012年，日本在PISA數學測試中的排名爲第7名，2015年、2018年則分別爲第5和第6名，較2006年有所上升，但沒有再次榮登榜首。

不知道這樣反反覆覆減負加負的試錯，將把國民素質帶向何方呢？

真實的圓周率是露點的（3.14…），把真相遮住就不太科學。

參考資料：

https://docs.qq.com/doc/DVGxndklJdFZzeGFr

把科學帶回家

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