閱讀數學／很多猴子勝過莎士比亞？

示意圖／Ingimage

112國中教育會考剛剛落幕，作文考科的題目同時引起國文科和數學科的關注，因爲學生必須根據一張「統計圖表」來完成一篇文章。到底是考數學還是考國文呢？其實這並不是第一次在其他科的題目中看到數學，幾年前的北區高三模擬考，國文科考卷有一篇關於機率的閱讀測驗，具體來說是關於「無限猴子定理」的閱讀題組。

無限猴子定理最早出現於1913年，法國數學家博雷爾在〈統計機制與不可逆性〉的文章中提到：「只要給定足夠長的時間，1只猴子在鍵盤上隨便亂按，也能打出莎士比亞全集。當然，足夠長的時間是『無限長』的時間。」

猴子只是個譬喻，任何能敲打鍵盤的動物都可以。但猴子真的辦得到嗎？就不說無限長的時間了，猴子也不是隨處可見的動物，要檢驗博雷爾的話相當困難。不過，沒有長生不老藥也沒有猴子的我們──還有數學！

難題先放一邊，我們試試簡單一點的例子。比方說，如果一組0到9的鍵盤，猴子按下每個鍵的機率一樣大（實際上不一定，猴子可能會集中敲打某個按鍵），每次敲擊鍵盤都是獨立事件。現在我們先請猴子敲出圓周率的第一位數字3，他敲對的機率是1/10，要連續且正確地敲出3.14159的機率則驟降到百萬分之一，非常之低。再往博雷爾靠近一些，但暫時不討論莎士比亞全集，先請猴子挑戰一句詩就好

「shall I compare thee to a summer’s day（我是否該將你比喻爲夏日？）」

這回假設鍵盤只有26個小寫字母，光是要正確按出shall這個單字，成功機率就不到千萬分之一了（1/11,881,376）。2004年，科學家用電腦證明無限猴子定理，他讓一隻虛擬猴子在經過4.21625×10²⁸年後，終於打出莎士比亞作品《維洛那二紳士（The Two Gentlemen of Verona）》的第一行：VALENTINE: Cease to……想看完整部作品嗎？再給這隻猴子很多很多的時間吧！

本篇文章與數感實驗室朱倍玉共同完成。