什麼數學理論令天才們前赴後繼？看得意猶未盡！
“微積分”這一名稱出現在哪本書中？微積分教科書又是誰人所寫？微積分是誰發明的？洛必達法則居然是伯努利的研究成果？誰被譽爲“分析學的化身”？誰又被譽爲“現代分析學之父”？哪些數學天才使微積分的創建過程終於畫上句號？……
《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》宛如一座陳列室，匯聚了十多位數學大師的傑作，當你徜徉其中時會對人類的想象力驚歎不已，當你離去時必然滿懷對天才們的欽佩感激之情。牛頓和萊布尼茨這兩位奠基人我們都已相對熟悉了，今天我們將走進微積分“3號”人物——伯努利兄弟。
《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》
作者：[美] William Dunham
譯者：李伯民 汪軍 張懷勇
通常，一場科學革命不單是需要一位奠基的天才。它往往也需要一位組織天才，去確立科學中的核心思想，對它的產物去粗取精，去僞存真，並使之能爲大衆理解。
一位卓越的建築設計師可以設計出一幅宏偉的藍圖，但是這份藍圖終究需要一支建築隊伍將其變成一座大廈。
如果說牛頓和萊布尼茨是微積分的建築設計師，那麼正是雅各布·伯努利和約翰·伯努利所做的大量工作，才把微積分建立成今天我們所知的這門學科。
這兄弟二人閱讀了萊布尼茨從 1684 年到 1686 年發表的最早論文，他們發現自己如臨決鬥前那樣興奮。他們抓住雲山霧罩般的闡述，充實它的細節，然後通過與萊布尼茨的交流以及兄弟彼此之間的交流，完善了統一性、條理性和術語。例如，“積分”一詞正是雅各布給出的。
在他們手中，微積分變成當今學生易於接受的形式，即具有基本的求導法則、積分方法和初等微分方程的解法。
雖然同屬優秀的數學家，但是伯努利兄弟二人的個人表現完全可以用“不得體”來形容。尤其是約翰，在萊布尼茨與牛頓關於微積分發明權之爭中充當了好鬥的角色，像萊布尼茨的牛頭犬一樣，忠實地站在他所尊奉爲英雄的“大名鼎鼎的萊布尼茨”一邊，甚至聲稱牛頓不僅沒有發明微積分，而且從來沒有完全理解它。這當然是對歷史上最傑出的一個數學家的粗野無端的攻擊。
對於家庭和諧來說不利，雅各布和約翰也以相互爭鬥爲樂。例如，哥哥雅各布稱弟弟約翰爲“我的學生”，即使是在這個學生的才幹已經明顯和他相當的時候也是這樣。同樣，約翰在事隔多年後還在津津樂道地談論如何在一個晚上解決了困擾雅各布將近一年的一個問題。
儘管他們具有難以相處的執拗天性，但是，伯努利兄弟還是在數學史上寫下了濃墨重彩的篇章。
雅各布除了在微積分上的貢獻以外，還著有《猜度術》一書，在 1713 年（他去世後）出版。這本書是概率論的經典之作，書中給出大數定律的證明，爲了紀念他，人們往往把這個基本結果稱爲“伯努利定理”。
至於約翰，他是世界上第一本微積分教科書的捉刀人。這件事情起於一項協議，按照協議約翰給法國貴族紀堯姆·德·洛必達侯爵（1661—1704）提供微積分課材料，獲取報酬。
洛必達隨後在 1696 年整理出版了這些材料，書名爲《用於瞭解曲線的無窮小分析》。在這本書裡首次出現“洛必達法則”，並且這個名稱就此在微分學中固定下來，儘管像書裡的大部分內容一樣，這個法則實際上是約翰·伯努利發現的。
在書的前言裡，洛必達表達了對伯努利和萊布尼茨的感謝，他寫道：“我無償地使用了他們的發現，所以我會坦誠歸還任何他們聲稱應該屬於他們的東西。”
性情暴躁的約翰當然不滿足於這種姿態表示，他確實聲稱這個法則是他發明的，幾年後，他抱怨洛必達用金錢換取他人的才智。當然，是伯努利自己實實在在拿到了錢，正如數學史家 Dirk Struik 提醒我們的：“就讓好侯爵繼續擁有他的優雅法則吧，畢竟他付錢了。”
爲避免再次失去榮譽，約翰寫了一篇關於積分學的內容廣泛的論文，在 1742 年用自己的署名發表。
爲更清楚瞭解伯努利兄弟二人在數學上的成就，我們有選擇地介紹他們的成果。首先從雅各布的調和級數的發散證明開始，然後考察他對一些奇異收斂級數的處理，最後介紹約翰對他所謂“指數微積分”的貢獻。
像在他之前的牛頓和萊布尼茨以及許多後來的數學家一樣，雅各布·伯努利認爲無窮級數是進入分析學的必由之路。這一點從 1689 年他所寫的專題論文《論無窮級數及其有限和》中可以明顯看出。
這篇文章是對無窮級數的最高水平的討論，因爲無窮級數在臨近 17 世紀末才被人們瞭解。雅各布考察了一類相似的級數，例如等比級數、二項式級數、反正切級數和對數級數，以及某些以前從未討論過的級數。在本章，我們考察從《論無窮級數及其有限和》中節錄的兩段文字，第一段專門討論調和級數的奇異特性。
在 1689 年之前很久，有人已經發現級數
發散到無窮大。在大多數現代教科書中可以找到尼科爾·奧雷姆（大約 1323—1382）發現的證明，以及彼得羅·門戈裡（1625—1686）提出的另一種證明。
萊布尼茨也許並不瞭解這兩位先驅者的工作，在他早年在巴黎任職期間發現這個級數是發散的，用他的話說是
，並告訴他的英國同行，而從他們那裡獲悉，又有人捷足先登了。
所以，調和級數的發散已不再是新聞。但是，我們通過下面另外一種方法得到同樣的結果，可以增長見識，更不必說其中的多樣性的魅力了。
雅各布·伯努利的發散性證明就是與他的前輩們的證明迥然不同的這樣一種方法。等比數列和等差數列在他那個時代如日中天，他首先從對比這兩類數列開始。他將前一種數列描述爲 A, B, C, D, …，其中
等等，例如，2, 1, 1/2, 1/4,…。他將後一種的數列，寫成 A, B, C, D,…的形式，其中
等等；一個例子就是 2, 5, 8, 11,…。
當然，現代的書寫習慣是強調等比數列的公比（r）和等差數列的公差（d），因此我們將等比數列寫成 A , Ar , Ar2 , Ar3 , …，而將等差數列寫成 A , A+d , A+2d , A+3d , …。
作爲雅各布的《論無窮級數及其有限和》的第 4 個命題，他證明了關於前兩項相同的正數項等比數列和等差數列的一個引理。
在幾個命題之後，雅各布證明了在描述方式上帶有 17 世紀風格的下述結果。
以這些預備知識做鋪墊，現在我們可以看看雅各布對調和級數進行的分析。此項分析在《論無窮級數及其有限和》一文中緊接在約翰的級數發散證明之後。將弟弟的成果包含在他的論文中也許顯得異乎尋常地慷慨，但是雅各布發起了挑戰，給出自己的另一個證明。
用他的話說，目標是證明“無窮調和級數的和
超過任意給定的數。因此，它的和爲無窮大”。
這是一個構思巧妙的證明。雅各布很清楚它的重要意義，他強調，“一個最後項趨近零的無窮級數的和也許是有限的，也許是無限的”。
自然，不會有現代數學家談論無窮級數的“最後項”，但是雅各布的意圖是清楚的：即使無窮級數的一般項縮小至零，也不足以保證級數收斂。調和級數就是一個極好的例子。
雅各布·伯努利因此證明了這一點，今天大家依然採用這個證明。
《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》
作者：鄧納姆譯者：李伯民 汪軍 張懷勇
本書榮獲“第七屆文津圖書獎推薦書目”。
這不是一本數學家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫卷的陳列室。書中的每一個結果，從牛頓的正弦函數的推導，到伽瑪函數的表示，再到貝爾的分類定理，無一不處於各個時代的研究前沿，至今還閃爍着耀眼奪目的光芒。